A los matemáticos y matemáticas nos gusta jugar con los números. Y cuando empieza un nuevo año, no es raro que busquemos formas de descomponer el número que estrenamos de alguna forma llamativa o curiosa. Este año , proponemos escribir 2026 como una suma infinita de números. A primera vista puede no parecer gran cosa, pero ¿y si dijéramos que podemos usar exactamente los mismos términos para seguir felicitando cada año, para siempre? Tan solo hace falta reordenarlos para obtener como resultado 2026, 2027 o cualquier otra cifra. Esta afirmación es el llamado teorema de las series de Riemann.Una serie es una suma de infinitos términos, por ejemplo, la suma de infinitos unos, de todos los números pares, de los primos o de las siguientes fracciones 1/2+ ¼+1/8+1/16+1/32+…. Su comportamiento desafía, en muchas ocasiones, nuestra intuición. Mientras que hay muchas series que suman infinito, como los tres primeros ejemplos anteriores, una de las primeras sorpresas es que algunas series, pese a tener infinitos sumandos, pueden dar como resultado un número finito y perfectamente definido.Es el caso del último ejemplo mencionado: la serie 1/2+ ¼+1/8+1/16+1/32+..., que suma 1. Es fácil convencerse de ello si se interpreta geométricamente, viendo cada uno de los términos de la serie como el área de una sucesión de rectángulos. Como se muestra en la imagen, se parte de un cuadrado de lado uno, cuya área es 1. Si se divide en dos partes iguales y se toma una de ellas, se obtiene un rectángulo de área ½, que es el primer término de la serie. La mitad restante, se divide de nuevo en dos rectángulos iguales, de los cuales se considera uno, ahora de área ¼, que corresponde al segundo término de la serie. Repitiendo el mismo proceso, en cada paso se añaden rectángulos más pequeños (que corresponden a todos los términos de la serie) y se deja fuera una región cada vez menor. Aunque nunca se completa el cuadrado total (el de área 1) en un número finito de pasos, al prolongar el proceso indefinidamente el área acumulada (que es lo mismo que la suma de los términos de la serie) se va acercando más al área total del cuadrado de lado 1. En el infinito se cubre por completo el área 1, lo que muestra que la suma es exactamente 1.Matemáticamente, se dice que la serie converge (en este caso a 1). Es decir, al considerar sumas parciales (que son las sumas obtenidas al añadir solo un número finito de términos de la serie, los primeros n términos), estas se acercan cada vez más a un número fijo, que es al que converge la serie; en el caso anterior, a 1, ya que, en cada paso, el área del cuadrado que queda fuera es menor. Con las sumas parciales es posible acercarse tanto como se quiera al valor de convergencia, ampliando la lista de sumandos de forma conveniente. En nuestro ejemplo, tras sumar un número n términos se obtiene un área total igual a 1 – 1/2^n. Así, si se quiere que la suma sea 0,999 basta con sumar 10 rectángulos; si se quiere llegar a un área de 0,99999999, se necesitan 27 rectángulos; y si se desea alcanzar 0,999999999999999999999999999999999999, será suficiente con sumar un centenar de ellos.No siempre convergenSin embargo, no todas las series cuyos términos se van acercando a cero convergen: por ejemplo, la serie armónica (llamada así por su relación con los armónicos musicales) ½ + 1/3+ ¼ + 1/5 … va adicionando términos cada vez más cercanos a cero, pero no converge. En cambio, si se alternan los signos de los términos (la denominada armónica alternada), es decir ½ - 1/3+ ¼ - 1/5 …, entonces la serie sí converge, en concreto a logaritmo neperiano de 2.Eso sí, la convergencia de la serie armónica alternada es más débil que la de otras series, por ejemplo, la de 1/2+ ¼+1/8+1/16+1/32+..., pues no converge de forma absoluta, usando la denominación matemática habitual. Una serie converge absolutamente si, al tomar todos los términos de la serie y hacerlos positivos (es decir, considerar su valor absoluto, que es el tamaño del número sin importar su signo), su suma sigue convergiendo. En el caso de la serie armónica alternada, al considerar los valores absolutos de los términos, se vuelve a la serie armónica, que no converge.MÁS INFORMACIÓN noticia Si El dibujo hecho con tiza roja que podría guardar el secreto del ADN de Leonardo da Vinci noticia Si Resuelto el misterio de los 'planetas menguantes': así se forman los mundos más comunes del UniversoEn este tipo de series, que convergen, pero no de manera absoluta, sucede algo aún más inesperado: su valor depende del orden de la suma. Efectivamente, según el teorema de las series de Riemann (formulado en 1854 por el matemático alemán Bernhard Riemann), al reorganizar los términos de este tipo de series, la suma puede tomar cualquier valor. De alguna manera, deja de ser cierta la propiedad conmutativa que se aprende en el colegio, según la cual, el orden en el que sumamos números no afecta al resultado final (es decir, da igual operar 3+5 que 5+3, el valor es el mismo).SOBRE los AUTORes Javier Aramayona / Ágata Timón Javier Aramayona es investigador del Consejo Superior de Investigaciones Científicas en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT). Ágata Timón es coordinadora de la Unidad de Cultura Matemática del ICMAT.Entre teoremas es una sección de matemáticas para todos los públicos impulsada por el Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM).