Modüler formlar, yüzyıllardır matematikçilerin ilgisini çekmiştir. Çoklu yapıları sayesinde, matematiğin çeşitli alanları arasında bir köprü oluştururlar. Modüler formlar; analiz araçları, Sayı Teorisi yapıları veya Galois Teorisi kullanılarak tanımlanabilir. Bununla birlikte görselleştirilmeleri zorlu…
Modüler formlar, yüzyıllardır matematikçilerin ilgisini çekmiştir. Çoklu yapıları sayesinde, matematiğin çeşitli alanları arasında bir köprü oluştururlar. Modüler formlar; analiz araçları, Sayı Teorisi yapıları veya Galois Teorisi kullanılarak tanımlanabilir. Bununla birlikte görselleştirilmeleri zorlu bir görev olmaya devam etmektedir. Burada zorluk, dört boyutlu bir uzayı sezgisel olarak hayal edememekten kaynaklanmaktadır. Bu makalede, belirli modüler formların uzayda nasıl davrandığını grafiksel olarak göstereceğiz. Nihai hedef; estetik düşünceyi, matematiksel titizlikle birleştirebilecek Escher benzeri bir modüler form temsili oluşturmaktır.
Dedekind Eta Fonksiyonuna Dayalı Modüler Diskriminant
Modüler formlar, Karmaşık düzlemin ( C\Complex ile ifade edeceğiz) bir bölümünden (üst yarım düzlemi) C\Complex' ye yapılan uygulamalardır. C\Complex, 2 boyutlu bir vektör uzayı olduğundan 4 boyutlu uzayları temsil etmemiz gerekir. 4 boyutlu uzayın temsili sorunu, matematikçiler için merkezi bir konu olmuştur. Bu temsilin iki standart yolu vardır; birincisi renkleri kullanmak, ikincisi ise uzaya özgü topolojik özellikleri kullanmaktır.
Bu iki yöntem arasındaki farkı bazı yaygın fonksiyonların (kimlik fonksiyonu, üstel fonksiyon ve bazı modüler formlar) grafiği ile göstereceğiz:
Tüm Reklamları Kapat
Kimlik fonksiyonu
Üstel fonksiyon
Modüler formda bir Eisenstein Serisi
Daha sezgisel olduğunu düşündüğümüz ve temel etki alanını daha net bir şekilde temsil etmemizi sağladığı için sonraki görselleştirmelerde renkleri kullanacağız.
Biraz Teori
Tanım: Modüler bir form C\Complex 'nin üst yarım düzleminden C\Complex 'ye aşağıdaki özelliklere sahip holomorfik bir ff uygulamasıdır:
f(az+bcz+d)=(cz+d)kf(z)f({az+b \over cz+d}) = (cz+d)^k f(z) ∀\forall (abcd)\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} ∈\in SL2\mathbb{SL_2}
Burada kk, genellikle ağırlık olarak adlandırılan sabit bir değerdir.
Tüm Reklamları Kapat
Karmaşık (kompleks) Analizden Notlar
Tanım: Ω\Omega , C\Complex'nin bir alt kümesi olmak üzere Ω→C \Omega \to \Complexüzerinde tanımlanan ff, aşağıdaki koşulu sağlıyorsa holomorf olarak adlandırılır:
İspat: ff bir modüler form olmak üzere, (1101)\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} şeklinde tanımlanan T matrisini alarak f(z+1)=f(z)f(z+1)=f(z) ∀z∈\forall z \in H\mathbb{H} olduğu kolayca görülebilir. Bu da ff 'nin periyodikliğini kanıtlar.
Evrim Ağacı'ndan Mesaj
Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.
Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.
Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.
Önerme: Holomorfik bir fonksiyon aynı zamanda analitiktir. Periyodik olduğu için Fourier kuvvet serisi açılımına izin verir. Ancak ff için bir Fourier serisinin varlığı, ff'in periyodik olduğunu göstermez.
Örnek: Bu yazımızda görselleştireceğimiz Eisenstein serileri, aşağıdaki tanıma uyan modüler formlardır:
τ\tau , H\mathbb{H}'de bir karmaşık sayı olsun ve ayrıca Λ=Z+Zτ\Lambda=\Z+\Z\tau şeklinde tanımlansın. O halde;
Buradan, her modüler formun yalnızca karmaşık bir kuvvet serisi (holomorfik olmalarından kaynaklanan) olarak değil, aynı zamanda Fourier dönüşümü olarak da tanımlanabileceğini görüyoruz. Bu, onları Fourier Serisi tanımıyla temsil etmemize yardımcı olacaktır.
C\Complex'nin Açık Birim Diskine Dönüşümü
Bir z0z_0 noktası etrafındaki açık birim disk, z0z_0 noktasına olan uzaklıkları 1'den küçük olan noktalar kümesidir:
D1(z0)={z:∣z−z0∣<1}D_1(z_0)=\lbrace z : \lvert z-z_0 \rvert<1 \rbrace
Tüm Reklamları Kapat
Önerme: Açık birim disk, H\mathbb{H} 'ye homeomorfiktir.
İspat: f(z)=z1−∣z∣2f(z)= {z \over 1-\lvert z \rvert^2} fonksiyonu, açık birim diskten düzleme gerçek analitik ve birebir örten bir fonksiyon örneğidir. Ayrıca ters fonksiyonu da analitiktir. Bu açık birim diskin tüm C\Complex düzlemine analitik olduğunu gösterir. Ancak H\mathbb{H} , C\Complex 'ye homeomorfik olduğundan ve homeomorfizm bir denklik ilişkisi olduğundan H\mathbb{H} açık birim diske de homeomorfiktir.
Bunu kanıtlamanın bir başka yolu da g(z)=i1+z1−zg(z)=i {1+z \over 1-z} (Cayley dönüşümü olarak adlandırılır) fonksiyonunun birim çemberden H\mathbb{H} 'ye konformal bir birebir eşleme olduğunu görmektir. Aslında açık birim disk ve H\mathbb{H} yalnızca topolojik olarak eşdeğer olmakla kalmaz, aynı zamanda Riemann yüzeyi olarak da benzerdirler. Buradan, üst düzlemdeki herhangi bir modüler formu alıp birim diske yansıtabileceğimizi görüyoruz. Bu da Escher benzeri bir gösterimin çizilmesini mümkün kılar.
Modüler Formların Açık Birim Disk Üzerinde Gösterimi
Açık birim diskin, H\mathbb{H} 'ye homeomorfik olduğunu gördük. Modüler bir forma ters Cayley dönüşümü uygulayarak onu açık birim diskte temsil edebiliriz. Bu nedenle daha önce H\mathbb{H} 'de çizdiğimiz Eisenstein serisini aşağıdaki seriye dönüştürebiliriz:
Bazen evler hayatımızın tam merkezine oturur, hatıralarımızın temel taşı olur. Ama ya bir ev, hayatınızdaki en büyük pişmanlığın da kaynağıysa?
Maeve ve Danny… İki kardeş, Pennsylvania’daki ihtişamlı Hollanda Evi’nde geçen bir çocukluk… Babalarının ani ölümüyle bu muazzam malikâneden haksızca sürülen kardeşler, geçmişin hayaletleriyle yüzleşirken hırs, kıskançlık, aşk ve affetmenin ne anlama geldiğini anlamaya çalışıyorlar. Fakat geriye bakmak, geleceği kurmalarına engel olabilir mi?
Ann Patchett’in derin insan gözlemleri ve büyüleyici anlatımıyla örülen Hollanda Evi, aile sırları, sadakat ve sevginin sınavına dair etkileyici bir roman. Peki ya siz, hayatınızdaki en büyük sınavı vermeye hazır mısınız?
Bu hikâye kalbinize dokunacak ve sizi unutamayacağınız bir yolculuğa çıkaracak. Hollanda Evi ile zamanın nasıl akıp gittiğini unutacak, kendinizi bu karmaşık ve büyüleyici ailenin içinde bulacaksınız.
“Patchett, her zaman yaptığı gibi bizi edebiyattan çok hayata benzeyen bir gerçeğe götürüyor.” The Guardian
“Ann Patchett’in kurgusunu okurken mucizeler bekleyebilirsiniz.” New York Times Book Review
“Patchett, usta bir hikâye anlatıcı.” O, the Oprah Magazine
Açık birim çember içinde 4 ve 8 ağırlıklı Eisenstein Serisi
Bu görselleştirme modüler formların periyodik yapısını kolayca görmemizi sağlar.
Mobius Dönüşümleri
Mobius dönüşümleri, f(z)=az+bcz+df(z)={az+b \over cz+d} olacak şekilde karmaşık izdüşüm çizgisinin izdüşümsel dönüşümleridir. Bunlar izdüşümsel doğrusal PGL\mathbb{P}\mathbb{G}\mathbb{L}(2,C)(2,C) Mobius Grubu adı verilen bir grup oluştururlar.
Önerme: Mobius dönüşümleri aşağıdaki iki matris tarafından oluşturulur:
İspat: İlk durumda c=0c=0 olduğunu varsayalım. O halde Mobius dönüşümü doğrusal bir dönüşümdür, bu da onun gerçekten bir öteleme olarak temsil edilebileceği anlamına gelir. Şimdi de c /=0c\mathrlap{\,/}{=}0 ve a=0a=0 olduğunu varsayalım. O halde Mobius dönüşümü bir ters çevirmedir. Son olarak c /=0c\mathrlap{\,/}{=}0 ve a /=0a\mathrlap{\,/}{=}0 olduğunu varsayalım. O halde Mobius dönüşümü ff, şu şekilde yazılabilir:
Bu nokta çok önemlidir. Aslında her Mobius dönüşümünün öteleme ve/veya ters çevirme işlemlerine ayrıştırılabileceğini göreceğiz. Bu, bunların sistematik bir temsiline sahip olmamızı ve yalnızca belirli bir Mobius dönüşümü için kaç öteleme ve ters çevirme işlemine ihtiyaç duyulduğuyla ilgilenmemizi sağlar.
Önerme: Mobius dönüşümleri birbirinden farklı 3 nokta tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir.
Önerme: Özdeşlik olmayan her Mobius dönüşümü en fazla 2 sabit noktaya sahiptir.
İspat: f(zi)=zif(z_i)=z_i olmak üzere i=1,2,3i=1,2,3 olacak şekilde z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 noktalarını alalım. Öncelikle eşitlik şu şekilde yeniden yazılabilir:
Tüm Reklamları Kapat
az+b=cz2+dzaz+b=cz^2+dz
Ancak bu, ancak ve ancak c=b=0c=b=0 ve a=da=d olduğunda 2'den fazla çözüme izin verir, bu da özdeşlik dönüşümüne eşdeğerdir.
İspat: 0,10, 1 ve ∞\infty noktalarını α1,α2,α3\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 olmak üzere verilen üç noktaya eşleyen iki Mobius dönüşümü SS ve TT olsun. Mobius dönüşümlerinin tersine çevrilebilir olduğunu bildiğimizden, aynı zamanda bir Mobius dönüşümü olan S∘T−1S\circ T^{-1} haritasını oluşturabiliriz. Bu harita 0,10, 1 ve ∞\infty noktalarını korur. Bu, Mobius dönüşümünün özdeşlik olduğunu ve bu da T=ST=S olduğunu gösterir. Buradan, her Mobius dönüşümünün 3 nokta tarafından benzersiz bir şekilde belirlendiğini görüyoruz.
Önerme: Mobius dönüşümleri çember ve doğru için kararlıdır.
Tüm Reklamları Kapat
İspat: Çemberler 3 noktaya kadar benzersiz bir şekilde belirlenir; bu, 3 noktanın doğrusal olması durumunda çember bir doğrudur. ff, bir Mobius dönüşümü ve α1,α2,α3\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 birbirinden farklı 3 nokta olsun. Daha önce bahsettiğimiz bir önermede olduğu gibi Mobius dönüşümlerinin birbirinden farklı 3 nokta tarafından benzersiz bir şekilde belirlendiğini gördük. Bu da f(αi)=βif(\alpha_i)=\beta_i, i∈1,2,3i\in 1, 2, 3 olmak üzere ff'in benzersiz bir Mobius dönüşümü tanımladığı anlamına gelir. C\Complex 'nin tüm doğrularını ve doğru çemberlerini içeren aileyi gösteren FF kümesinin her üyesi, denklemin geometrik yeridir.
Burada ββˉ>αγ\beta\bar{\beta} >\alpha\gamma olmak üzere α\alpha ve γ\gamma gerçek sabitler, β\beta ise karmaşık bir sabittir. Eğer α /=\alpha\mathrlap{\,/}{=}0 0 ise bu bir çember tanımlar. α=0\alpha=0 ise bu bir doğruyu tanımlar. zz yerine 1z1 \over z yazmak önceki denklemi şu hale dönüştürür:
α+β∗zˉ+βˉ∗z+γ∗z∗zˉ=0\alpha+\beta \ast \bar{z}+\bar{\beta} \ast z + \gamma \ast z \ast \bar{z}=0
Tüm Reklamları Kapat
Bu aynı biçimde bir denklemdir ve ispat tamamlanır.
Temel Etki Alanı
Temel etki alanı; D⊂XD\subset X olmak üzere XX, GG altında DD dönüşümlerinin birleşimidir:
X=⋃g∈GX=\bigcup_{g \in G} gDgD ve herhangi iki öteleme için Int(gD∩g′D)Int(gD \cap g'D) = Ø\text{\O} olacak şekilde sağlanır.
Örneğin, modüler bir formun temel tanım kümesi;
Tüm Reklamları Kapat
F={z∈C:∣Re(z)∣≤12,∣z∣≥1}F=\lbrace {z \in C : \lvert Re(z) \rvert \le {1 \over 2} , \lvert z \rvert \geq 1} \rbrace şeklindedir.
Böyle bir nesneyi tanımlamamızın nedeni, modüler formlarımızın yalnızca bir periyodunu temsil etmemize olanak sağlamasıdır. Fonksiyonu tüm uzayda hesaplamak için zaman kaybetmek yerine onu yalnızca temel tanım kümesinde hesaplayıp daha sonra C\Complex 'nin tüm üst düzlemine genişletebileceğiz.
Temel Etki Alanının Temsili
Şimdiye kadar temel etki alanlarını temsil edebilmek için periyodik yapıyı ve modüler formları bir araç olarak kullandık. Eisenstein Serisiyle ilgili temel alanı çizmek için Mobius dönüşümünün değişmez (doğrular ve çemberlerin dönüşümler karşısında korunması) doğasından yararlandık.
Temel etki alanının adım adım genişletilmesi
Temel etki alanını oluşturma algoritmasının temel fikri, özyinelemeyi ve Mobius dönüşümlerinin TT ve SS tarafından üretildiği gerçeğini uygulamaktır. Dolayısıyla elimizde şu eşitlik vardır:
Tüm Reklamları Kapat
An+1=A_{n+1}={An\lbrace A_n x T,AnT, A_n x S,AnS, A_n x T−1,AnT^{-1}, A_n x S−1}S^{-1} \rbrace\lbrace {A_n
Aynı algoritma bize açık birim çemberin temel tanım kümesini de verebilir.
Açık birim çember üzerinde temel etki alanının adım adım genişletilmesi
Modüler Formlara Uygulanan Temel Alan
Öncelikle Eisenstein Serisinin grafiği üzerinde temel etki alanını uygulayacağız ve daha sonra sadece bu Eisenstein Serisini temel etki alanı üzerinde çizerek adım adım ilerleyeceğiz.
Ağırlığı 2 olan Eisenstein Serisi ve temel etki alanının genişlemesi
Eisenstein Serisinin temel tanım kümesi üzerindeki açılımı
Algoritmanın Detayı
Burada C\Complex 'nin üst yarım düzleminin her noktasını; yalnızca Mobius dönüşümü kullarak, temel alan FF' ye çeviren bir algoritma önereceğiz. H\mathbb{H}'de rastgele bir zz noktası alalım. İlk olarak normun ∣z∣\mid z\mid≥1\geq1 olup olmadığını kontrol ederiz. Değilse sağlayana kadar TT'yi uygularız, sonrasında ∣Re(z)∣≤12\mid Re(z) \mid \le {1 \over 2} sağlayana kadar SS uygularız. Bu sürecin FF'ye ulaşmamızı sağladığını gösterelim.
Tüm Reklamları Kapat
İspat: H\mathbb{H} üzerinde z(x,y)z(x,y) öyle bir nokta olsun ki xx, Re(z)Re(z) 'yi tanımlasın ve y=Im(z)y=Im(z) olsun. ∣z∣2=x2+y2≱1{\mid z \mid}^2=x^2+y^2\ngeq1 ve ∣Re(z)∣≤12\mid Re(z) \mid \le {1 \over 2} olduğunu varsayalım. İkinci koşulu; noktayı gerçek sayı eksenine göre öteleyerek yani SS uygulayarak elde edebiliriz. TT uygulayarak normu değiştirip ∣Tz∣=∣z∣∣z2∣\mid Tz \mid = {{\mid z \mid} \over {\mid z^2 \mid}} olduğunu görebiliriz. Ancak ∣z∣<1\mid z \mid <1 iken ∣Tz∣>∣z∣\mid Tz \mid> \mid z \mid olur. Sabit noktalar ∣z∣=1\mid z \mid=1 olacak şekilde tanımlandığından, bu da FF'de bulunur ve ispat tamamlanır.
Modüler Formların Bir Escher Eseri Olarak Temsil Edilmesi
Geldiğimiz noktada periyodik modüler formlarımızın Escher litografisine benzer resimlere nasıl dönüşebildiğini görebiliyoruz. Bu ilginin kaynağı, Escher eserlerinin büyük çoğunluğunun periyodiklik ve simetriler üzerine kurulu olmasıdır. Bu ilginin ikinci bir nedeni ise Escher'in eserlerinin ardındaki estetik araştırmadır. Güzelliğin sezgiyle bağlantılı olmasıyla birlikte 4 boyutlu uzaylar ve modüler formlar sezgisinin yaratılması, bu alanda sürekli araştırmalarla güzelliğin takip edilmesi anlamına gelir.
Bir Escher eseri
Görüldüğü gibi bu resimde çok fazla simetri ve tekrar vardır. Dahası bu simetrilerin modüler formların simetrilerine benzemesi tesadüf değildir. Bu resim, açık birim disk üzerindeki bir mozaikleme örneğidir. Karoların şekilleri, açık birim diskteki temel alanın kopyalarının şekilleriyle aynıdır.
Böyle bir görsel oluşturmak zorlu bir iştir. Ancak daha basit bir örnek oluşturmak mümkündür. Temel etki alanını tek bir renkle, örneğin siyahla, boyayarak başlanabilir. Ardından bu etki alanının bir dönüşümle (S,T,T−1)(S, T, T^{-1} ) kopyaları siyaha boyanır, bu kopyaların sonraki kopyaları beyaza boyanır bu böyle devam eder.
Tüm Reklamları Kapat
Tanım: z∈Hz \in \mathbb{H} olsun. Temel alanda bir karmaşık sayıya dönüştürmek için gereken en küçük dönüşüm sayısını (S,T,T−1(S, T, T^{-1} arasında)) ord(z)ord(z) ile gösteriyoruz ve zz 'nin mertebesi olarak ifade ediyoruz. Aynı zamanda ord(z)ord(z), temel etki alanının zz'yi de içeren kendi kopyasına dönüştürmek için gereken minimum Mobius dönüşümü sayısıdır.
Bu tanım sayesinde iki renkli ve Escher eseri benzeri bir resim çizen bir fonksiyon yazabiliriz:
f:H→C∪{∞}:z→f: \mathbb{H} \to \Complex \cup \lbrace \infty \rbrace : z \to {02∣ord(z)∞dig˘er\begin{cases}0 &\text{} 2 \vert ord(z) \\ \infty &\text{} diğer \end{cases} olmak üzere,
Çıkış değerleri olan 0 ve ∞\infty 'u diğer değerlerle değiştirerek renkleri de değiştirebiliriz. Örneğin ∞\infty 'u 1 ile değiştirirsek siyah ve kırmızı bir resim elde ederiz.
Tüm Reklamları Kapat
Bir diğer olasılık ise bir mm modüler formuna sahipsek fonksiyonu şu şekilde tanımlarız ve elde edilen resimde bazı bölümler modüler formun parçalarını gösterirken diğerleri siyah kalır:
f:H→C∪{∞}:z→{02∣ord(z)m(z)dig˘erf: \mathbb{H} \to \Complex \cup \lbrace \infty \rbrace : z \to \begin{cases}0 &\text{} 2 \vert ord(z) \\ m(z) &\text{} diğer \end{cases} olmak üzere,
Dahası da var! f fonksiyonu ile z'yi ikiden fazla karmaşık sayıya gönderebiliriz ve böylece modüler formdaki resimden farklı olarak ikiden fazla renge sahip bir resim oluşturabiliriz.
n∈Nn \in \N ve { zk∈C∣k=1,2,...,nz_k \in \Complex \mid k=1, 2,...,n } birbirinden farklı karmaşık sayılar ailesi olsun. O halde ff şu şekilde tanımlanır:
Bu şekilde nn renkli Escher benzeri bir resim elde ederiz. Örneğin 6 renkle yapılmış bir resim:
Yukarıdaki fonksiyon H\mathbb{H} üzerinde tanımlanmıştır, açık birim çember üzerinde değil. Çünkü modüler formları H\mathbb{H} üzerinde ele aldık. Doğru resmi elde etmek için Cayley dönüşümünü kullanarak H\mathbb{H} 'den açık birim diske geçiş yapmak yeterlidir.[1]
