Yorucu bir günün sonunda eve karnınız acıkmış bir şekilde dönerken pizza siparişi vermeye karar verdiniz. Ama o kadar acıktınız ki pizzanın kaç dakikada gelebileceğini hesaplamaya başladınız. Yemeğin kaç dakikada hazır olabileceği, sipariş verilen restoranın uzaklığı, trafiğin sıkışıklık durumunu da hesaba katarak aşağı yukarı bir tahminiz oldu. Pizzanın hazırlanma süresi 20 dakika olsa, restoran eve çok uzak değil ama akşam trafiğinde de 15 dakikada gelse, toplamda 35 dakikada pizzaya kavuşma ümidi beslediniz. Sipariş verip beklemeye başladınız ve kurye 40 dakika sonra kapınızı çaldı. 5 dakika gecikmeli olsa da hesaplamalarınız teslimat süresine yakındı. İşte hayatımızın çoğu bölümünde hesapladığımız üç aşağı beş yukarı tahminler, daha önce İtalyan bilim insanı Fermi tarafından incelenmiş. Hatta Fermi; sadece yemek siparişi teslim süresi, bir ürünün maliyeti gibi ufak hesaplamaları değil, insan vücudunda kaç hücre bulunur, dünyanın kütlesi ne kadardır, bir atom bombası ne kadar güçlüdür gibi hesaplaması zor konularda da tahminlerde bulunmuştur.

Atom Bombasının Gücünü Tahmin Eden Ernico Fermi Kimdir?

16 Temmuz 1945’te ABD’de bir çölün ortasında patlatılan ilk atom bombası, sabahın alacakaranlığını aydınlatırken, patlamanın ürettiği enerjiyle havada hızla ilerleyen bir şok dalgası oluştu. Deneyi izleyen bilim insanlarından biri olan Fermi, elinde tuttuğu kâğıt parçalarıyla bu atom bombasının kaç TNT gücünde olduğunu “üç aşağı beş yukarı” tahmin etmeye çalıştı. Patlamadan yaklaşık 40 saniye sonra Fermi’ye ulaşan hava dalgası, 180 cm yükseklikten bırakılan kâğıt parçalarını yaklaşık 2.5 metre ileri uçurdu. Bu bilgilerden yola çıkarak hesaplamalar yapan fizikçi, atom bombasının 10 bin ton TNT gücünde olabileceğini ön gördü. Fermi’nin yaptığı kaba hesaplamadan sonra patlamanın çevresinden alınan numunelerin ayrıntılı analizi sonucunda bombanın 18,6 ton TNT gücünde olduğu ortaya çıkarılmıştır. İtalyan fizikçi Enrico Fermi, 20. yüzyılın önde gelen fizikçilerinden biridir ve nükleer fizik, parçacık fiziği gibi birçok alanda çalışmalar yapmıştır. 

Mertebe Hesabı, Fermi Tahmini Nedir?

Fermi tahmini, fizik bilimciler arasında “mertebe hesabı” da denilen bir tahminde bulunma yöntemidir. Bu yöntemle karmaşık fiziksel problemler, basit ve anlaşılır bir şekilde ele alınır. Temel amacı, bir sorunu daha küçük parçalara bölerek hesaplamak, sonrasında bu hesaplamalarla asıl problem hakkında “aşağı yukarı” bir tahminde bulunmaktır. Bu tür akıl yürütmelerde 1 ve 3 aynı mertebededir ama 1 ve 10 arasında mertebe farkı vardır. Atom bombası örneğinde Fermi’nin basit hesaplamaları, doğru cevaba mertebe olarak yakın olduğu için başarılı sayılır. Fermi bu tahminleri sadece fizikte değil, birçok farklı alanda kullanmıştır. Aşağıda Fermi’nin başka nasıl sorulara tahmini cevaplar aradığını birlikte inceleyelim. Bunu yaparken bazı varsayımlar yapmamız gerektiğini unutmayalım.

Vücudumuzda Kaç Hücre Vardır?

Bu soruya cevap ararken öncelikle vücudumuzun hacmini tahmin etmekle başlayalım. Hacmi hesaplamak için uzunluk, genişlik ve derinliği çarpmak gerekir. Bunu hesaplamak için bir yetişkinin ortalama boyunu tahmin edelim. Günümüzde insan boyu ortalaması 170 santimetredir. Ayrıca bir yetişkinin ortalama genişliği 30 cm (kafa, boyun, karın ve bacakların ortalaması alınıyor), ve ortalama derinliği 20 cm diyelim. Bu verilere göre vücut hacmi hesaplandığında:

Hacim(cm3) = Uzunluk(cm) x Genişlik(cm) x Derinlik(cm)

İnsan vücudunun Hacmi (cm3) = 170 cm x 30 cm x 20 cm = 1020000 cm3 yani 1020 litre bu da yaklaşık 105 cm3 değerindedir.

Vücudun hacmini tahmini olarak bulduğumuza göre şimdi bir hücrenin tahmini olarak hacmini hesaplayalım. Gözlerimiz milimetrenin onda biri büyüklükte noktaları seçebilir. Hücreleri göremediğimize göre bir hücre 0.1 milimetreden daha küçük olmalıdır. Bunun yanı sıra hücrelerimiz, mikroskopla görüntülenebilir. Demek ki o kadar da küçük değiller. İlk mikroskopların 10 ve 100 kat arasında büyüttüğünü düşünürsek bir hücre 0.01 mm ile 0.001 mm arasında bir büyüklükte olmalıdır. Üst sınırı alalım ve bir hücrenin 0.01 mm = 10-3 cm olduğunu kabul edelim.

O zaman bir hücrenin hacmi 10-3 x 10-3x 10-3 = 10-9 cm3 olur.

Elde ettiğimiz verilere göre vücudumuzdaki hücre sayısını hesaplarken de vücudumuzun hacmini, hücrenin hacmine böleriz. Yani vücudumuzdaki toplam hücre sayısı 105 cm3 / 10-9 cm3 = 1014 x 108 bulunur. Bu da her birimizin vücudunda yaklaşık 100 trilyon mertebesinde hücre var demek oluyor. Tabi ki bunun bütün insanlar için aynı olması mümkün değil. Ufak tefek bir insanda belki 75 trilyon hücre vardır, iri yarı birinde ise 150 trilyon hücre olabilir. Elbette bu tahmini bir hesaptır; çünkü insan vücudundaki bütün hücreler aynı boyut ve hacimde değildir. 

Dünyanın Kütlesini Tahmin Edebilir Miyiz?

Jeoloji ve astrolojiyle ilgilenen bilim insanları, Dünya’nın kütlesinin tam olarak ne kadar olduğuyla ilgili kapsamlı çalışmalar yapmışlardır. Fakat normal bir insanın, onların sahip olduğu bilimsel verileri bilip dünyanın kütlesini hesaplaması pek mümkün değildir. O zaman biz de bu kütleyi Fermi yöntemiyle aşağı yukarı hesaplamaya çalışalım.

Dünyanın kütlesini hesaplamak için: Kütle(kg) = Yoğunluk (kg/m3) x Hacim(m3) formülü kullanılır.

Dünyanın hacmini, bir kürenin hacmini hesapladığımız V = 4/3 πr³ formülüyle hesaplayabiliriz. π sayısını, 3’e yakın olduğu için 3 kabul edelim. Bu sayede formülümüz V = 4 x r³ haline geliyor. Dünya’nın yarıçapı olan r değerini bulmalıyız.

Türkiye’nin en doğusu ve en batısı arasındaki uzaklık 1500 kilometredir. Peki bu uzaklık Dünya’nın kaçta kaçıdır? Bunu hesaplamak için de saat farkını kullanabiliriz. Türkiye’nin en doğusu ve en batısı arasındaki saat farkı 1 saati bulur. Yani güneş doğuda 1 saat önce doğar 1 saat önce batar. Dünya’nın dönüşü sonucu batı bölgesinin gölgeye girmesi doğudan bir saat sonra gerçekleşir. Bir saatlik fark 1500 km ise, 24 saatlik fark 24 × 1500 = 36 000 km olur. Yarıçapı bulmak için bu bulduğumuz değeri 6 ya böleriz. Bu da 36 000 / 6 = 6 000 km = 6 × 106 m olarak bulunur. Böylece hacmi 4 × 63 × 1018 olarak hesaplanır. Bu da yaklaşık 8 × 1020 m3 oluyor.

Şimdi sıra Dünyanın tahmini yoğunluğunu bulmaya geldi. Bilimsel olarak suyun yoğunluğu 1 g/cm3, yani 1 cm3 hacimdeki suyun kütlesi 1 gramdır. Her türlü kaya suda battığına göre aradığımız yoğunluk değeri suyunkinden yüksek olmalı. Bir sonraki mertebede 10 g/cm3 değeri var. Bu durumda 10 g/cm3 yoğunluğa sahip bir su bardağı (200 cm3) büyüklüğünde bir kayanın kütlesi 2 kg olur. Fakat taşlara baktığımızda bu hacme göre bu kütlenin çok fazla olduğunu görebiliriz. Dolayısıyla bu iki mertebe arasında bir değer olarak Dünya’nın ortalama yoğunluğunu 5 g/cm3 = 5000 kg/m3 farz edelim.

Dünya’nın hacmini ve yoğunluğunu tahmini olarak bulduğumuza göre geriye sadece ilk başta yazdığımız denklemi kullanarak bu değerleri çarpmak kalıyor.

Kütle(kg) = Hacim (m3) x Yoğunluk (kg/m3)  

Kütle(kg) = 8 × 1020 m3 x 5000 kg/m3

Bu denkleme göre Dünya’nın hacmi Fermi hesabına göre hesaplandığında 4 x 1024 kilogram olarak bulunuyor.

NASA'nın elde ettiği verilere göre Dünya’nın hesaplanan kütlesi 59 x 1023 kilogram, yani Fermi yöntemiyle gerçeğe yakın bir tahminde bulunmuş olduk.

Başımızda Kaç Tane Saç Teli Var?

Bu soruyu cevaplamak için başımızdaki saç tellerini tek tek saymak neredeyse imkansızdır. Fermi tahmin yöntemini kullanarak gerçeğe yakın bir sonuç bulabiliriz. Başın saçla kaplı bölgesinin yüzey alanını, bir saç telinin kesit alanını ve saç tellerinin arasındaki boşlukların alanını hesaplayarak bir insanın başındaki saç tellerinin sayısını tahmin edebiliriz.

Başın saçla kaplı yüzey alanını (H ile ifade edelim) yaklaşık olarak hesaplamak için saç derisinin orta noktasından alın sınırına kadar olan mesafeyi (R ile ifade edelim) ölçelim. Kafamızın saçla olan kısmını daire olarak düşündüğümüzde R ifadesi bu dairenin yarı çapını ifade ediyor olacak.  Bu durumda başın saçla kaplı yüzey alanını:

(H) = π x başın saçla kaplı olan dairenin yarı çapı 2 ( R2)

Formülünü kullanarak yaklaşık olarak hesaplayabiliriz.
Saç tellerinin arasında belirli miktarda boşluk vardır. Başımızdaki saç tellerinin sayısını tahmin ederken tek bir saç telinin etrafındaki boşluğu dikkate alarak hesaplama yapabiliriz. Tek bir saç telinin kesit alanı ile etrafındaki boş alanın toplamını h ile ifade edelim. h değerini hesaplamak için iki saç teli arasındaki mesafeyi r olarak belirleyelim. Bu durumda h’yi

h = π x r2

formülünü kullanarak yaklaşık olarak hesaplayabiliriz.

Bir insanın başındaki saç tellerinin sayısına da başın saçla kaplı yüzey alanını (H), tek bir saç telinin kesit alanı ile etrafındaki boş alanın toplamına (h) bölerek yaklaşık olarak hesaplayabiliriz:

n = H/h

bulduğumuz bu formüllere göre tahmini bir hesap yapmaya başlayalım. Bir insanın başının saçla kaplı olan dairesinin yarı çapı 20 cm olsun. Bu durumda başın saçla kaplı olan yüzey alanı:

H = π x (20cm)2 = 1256 cm2 bulunur.

İki saç teli arasındaki mesafe r = 0.05cm kabul edelim.

Böylece tek bir saç telinin kesit alanı ile etrafındaki boş alanın toplamı

h =  π x (0.05cm)2 = 0.008 cm2  hesaplanır.

Bu hesaplamalara göre bir insanın başında yaklaşık olarak:

n = H/h = 1256 cm2 /0.008 cm2 = 157000 tane saç teli bulunur.

Tabii ki bu kişiden kişiye, saç tellerinin kalınlığına, saçla kaplı alana ve saç yoğunluğuna göre değişebilir.

Peki bu bilgiler benim ne işime yarayacak, diye sorabilirsiniz. Bu problemleri çözmek için varsayımlar ve tahminler yapmak, modeller geliştirerek bu modelleri çözüme ulaşmak için kullanabilmek gerekir. Bir bilim insanı gibi çözüm üretmeye yönelten bu problemler, aynı zamanda matematik becerilerimizin gelişmesini sağlar. Bize problem çözme becerisi kazandıran bu tür sorular aslında hayatımızın her alanda karşılaştığımız zorluklarla başa çıkabilmemize yardımcı olur. Dolayısıyla problem çözme becerisi yalnızca bilim insanlarının değil, her insanın sahip olması gereken bir özellik. Ayrıca günümüze Fermi soruları, olimpiyatlarda sorulan sorular arasında. Harvard Üniversitesi Fizik Bölümü Öğretim Üyesi Prof. Dr. Eric Mazur, verdiği bazı derslerde 30 dakikayı bu tahmin sorularına ayırıyor. Bu sayede öğrencilerinin problem çözme yeteneğinin gelişmesini hedefliyor.

Bu soruların örneklerini arttırabiliriz. İşte Fermi’nin de ilgisini çeken sorular:

1. Bir inek yılda kaç litre süt üretir?

2. Dünyadaki tüm sahillerde bulunan kum tanelerinin toplam ağırlığı ne kadardır?

3. Bir şehirde kaç tane trafik ışığı bulunur?

4. Bir şirketin yıllık kâğıt tüketimi ne kadardır?

5. Ortalama zekalı bir insan hayatı boyunca kaç farklı dil öğrenebilir?

6. Bir otomobil ilk üretildiğinden hurdaya çıkana kadar kaç litre benzin yakar?

7. Diyelim ideal kilonuza göre 20 kg fazlanız var. Bu fazla yağla, kaç litre suyu oda sıcaklığından kaynama sıcaklığına kadar ısıtabilirsiniz? (Bir gram yağda 37 000 Joule enerji vardır.)

8. 1 kilogram üzümde toplam kaç tane üzüm tanesi vardır?

9. Bir kütüphanedeki toplam kitap sayısı nedir?

10. Bir haftada dünya üzerinde ne kadar plastik atık üretilir?

11. Bir futbol sahasında kaç tane çim bulunur?